曲頂柱體的有向體積，物理意義是加在平面面積上壓力（壓強可變）。設二元函數z=f（x，y）定義在有界閉區域D上，將區域D任意分成n個子域 ，並以 表示第 個子域的面積。
在 上任取一點 作和 。
如果當各個子域的直徑中的最大值 趨於零時，此和式的極限存在，且該極限值與區域D的分法及的取法無關，則稱此極限為函數 在區域 上的二重積分，記為 ，即 。這時，稱 在 上可積，其中 稱被積函數， 稱為被積表達式， 稱為面積元素， 稱為積分區域， 稱為二重積分號。同時二重積分有着廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。
性質1（積分可加性）函數和（差）的二重積分等於各函數二重積分的和（差）性質2（積分滿足數乘）被積函數的常係數因子可以提到積分號外比較性：性質3 如果在區域D上有f（x，y）≦g（x，y）估值性：性質4設M和m分別是函數f（x，y）在有界閉區域D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積性質5如果在有界閉區域D上f（x，y）=k（k為常數），σ為D的面積，則Sσ=k∫∫dσ=kσ。二重積分中值定理：設函數f（x，y）在有界閉區域D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η）。二重積分和定積分一樣不是函數，而是一個數值。
因此若一個連續函數f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。其積分區域D是由所圍成的區域。其中二重積分是一個常數，不妨設它為A。
對等式兩端對D這個積分區域作二重定積分。故這個函數的具體表達式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為A，而等式最左邊根據性質5，可化為常數A乘上積分區域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數A來求解。設Ω為空間有界閉區域，f（x，y，z）在Ω上連續。
二重積分有什麼幾何意義?
定積分的幾何意義是曲邊梯形的有向面積，物理意義是變速直線運動的路程或變力所做的功。二重積分的幾何意義是曲頂柱體的有向體積，物理意義是加在平面面積上壓力（壓強可變）。
積分的線性性質：性質1（積分可加性）函數和（差）的二重積分等於各函數二重積分的和（差）性質2（積分滿足數乘）被積函數的常係數因子可以提到積分號外比較性：性質3 如果在區域D上有f（x，y）≦g（x，y）估值性：性質4設M和m分別是函數f（x，y）在有界閉區域D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積性質5如果在有界閉區域D上f（x，y）=k（k為常數），σ為D的面積，則Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重積分中值定理：設函數f（x，y）在有界閉區域D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η）。求解方法二重積分和定積分一樣不是函數，而是一個數值。因此若一個連續函數f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。其積分區域D是由所圍成的區域。
其中二重積分是一個常數，不妨設它為A。對等式兩端對D這個積分區域作二重定積分。故這個函數的具體表達式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為A，而等式最左邊根據性質5，可化為常數A乘上積分區域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數A來求解。
設Ω為空間有界閉區域，f（x，y，z）在Ω上連續。
二重積分的幾何意義是？
二重積分的幾何意義是D、曲頂柱體的體積。當被積函數大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函數小於零時，二重積分是柱體體積負值。
在空間直角座標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函數f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。二重積分的性質：二重積分是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。
重積分有着廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
積分,二重積分,三重積分,它們的幾何意義與物理意義各是什麼
定積分的幾何意義是曲邊梯形的有向面積,物理意義是變速直線運動的路程或變力所做的功。二重積分的幾何意義是曲頂柱體的有向體積,物理意義是加在平面面積上壓力（壓強可變）。
三重積分的幾何意義和物理意義都認為是不均勻的空間物體的質量。
積分的線性性質：性質1 （積分可加性） 函數和（差）的二重積分等於各函數二重積分的和（差），即性質2 （積分滿足數乘） 被積函數的常係數因子可以提到積分號外，即 (k為常數）比較性：性質3 如果在區域D上有f(x,y)≦g(x,y)，則估值性：性質4 設M和m分別是函數f(x,y)在有界閉區域D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積，則 性質5 如果在有界閉區域D上f(x,y)=k（k為常數)，σ為D的面積，則Sσ=k∫∫dσ=kσ。二重積分中值定理：設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得擴展資料：二重積分和定積分一樣不是函數，而是一個數值。因此若一個連續函數f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。如函數 ，其積分區域D是由 所圍成的區域。
其中二重積分是一個常數，不妨設它為A。對等式兩端對D這個積分區域作二重定積分。故這個函數的具體表達式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為A，而等式最左邊根據性質5，可化為常數A乘上積分區域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數A來求解。
設Ω為空間有界閉區域，f（x，y，z）在Ω上連續。
二重積分的幾何意義
二重積分的幾何意義是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。二重積分本質是求曲頂柱體體積。
重積分有着廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。在空間直角座標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。
二重積分的幾何含義
二重積分∫∫f(x,y)dxdy的幾何意義是曲頂柱體的體積，其中柱體的底為積分區域d，頂為z=f(x,y)確定的曲面。本題中z=(a^2-x^2-y^2)表示球體x^2+y^2+z^2=a^2的上半部分，底面時xoy平面上的x^2+y^2=a^2，根據幾何意義，積分等於這上半球體的體積=2πa^3/3。
